Số nguyên đồng thời – Wikipedia

Trong lý thuyết số, hai số nguyên a b được cho là tương đối nguyên tố lẫn nhau [1] hoặc coprime (cũng được viết co-Prime ) nếu số nguyên dương duy nhất (hệ số) chia cả hai. trong số đó là 1. Do đó, bất kỳ số nguyên tố nào chia một số này không chia số khác. Điều này tương đương với ước số chung lớn nhất của chúng (gcd) là 1. [2]

Tử số và mẫu số của một phần giảm là số nguyên tố. Như các ví dụ cụ thể, 14 và 15 là số nguyên tố, thường chỉ chia hết cho 1, trong khi 14 và 21 không phải là số nguyên tố, vì cả hai đều chia hết cho 7.

Các ký hiệu chuẩn cho các số nguyên tương đối a b là: gcd ( a b ) = 1 ( a b ) = 1 . Graham, Knuth và Patashnik đã đề xuất rằng ký hiệu

a b { displaystyle a perp b}

được sử dụng để chỉ ra rằng [1965900017] một và b tương đối nguyên tố và thuật ngữ "số nguyên tố" được sử dụng thay cho coprime (như trong a Prime thành b ). [3]

Một cách nhanh chóng để xác định xem hai số có phải là số nguyên tố được đưa ra bởi thuật toán Euclide hay không.

Số lượng số nguyên tương ứng với một số nguyên dương n trong khoảng từ 1 đến n được đưa ra bởi hàm tổng số của Euler (hoặc hàm phi của Euler) φ ( n ) .

Một tập hợp các số nguyên cũng có thể được gọi là coprime nếu các phần tử của nó không có yếu tố tích cực chung ngoại trừ 1. Một điều kiện mạnh hơn trên một bộ số nguyên là coprime cặp có nghĩa là a b là số nguyên tố cho mọi cặp ( a b ) của các số nguyên khác nhau trong tập hợp. Tập hợp {2, 3, 4 } là đồng thời, nhưng nó không phải là cặp đối ứng vì 2 và 4 không tương đối chính.

Thuộc tính [ chỉnh sửa ]

Các số 1 và integ1 là số nguyên duy nhất đối với mọi số nguyên và chúng là số nguyên duy nhất có cùng số 0.

Một số điều kiện tương đương với a b là đồng thời:

Là kết quả của điểm thứ ba, nếu a b là coprime và br bs (mod a ), sau đó r s (mod a ). [5] Đó là, chúng ta có thể "chia cho b "Khi làm việc modulo a . Hơn nữa, nếu b 1 b 2 đều là hai phần tử với a thì đó cũng là sản phẩm của họ b 1 b 2 (tức là modulo a nó là sản phẩm của các yếu tố không thể đảo ngược, và do đó không thể đảo ngược); [6] điều này cũng xuất phát từ điểm đầu tiên bởi bổ đề của Euclid, trong đó nêu rõ rằng nếu một số nguyên tố p chia một sản phẩm bc thì p chia ít nhất một trong các yếu tố b c .

Do hậu quả của điểm đầu tiên, nếu a b là đối phó, thì bất kỳ quyền hạn nào a k b m .

Nếu a b là đồng thời và a chia sản phẩm bc sau đó c . [7] Điều này có thể được xem như là một khái quát của bổ đề của Euclid.

Hình 1. Số 4 và 9 là số nguyên tố. Do đó, đường chéo của mạng 4 × 9 không giao nhau với bất kỳ điểm mạng nào khác

Hai số nguyên a b là hai phần tử khi và chỉ khi điểm có tọa độ ( a b ) trong hệ tọa độ Descartes "có thể nhìn thấy" từ gốc (0,0), theo nghĩa là không có điểm nào có tọa độ nguyên trên đoạn thẳng giữa nguồn gốc và ( a b ). (Xem hình 1.)

Theo nghĩa có thể được thực hiện chính xác, xác suất hai số nguyên được chọn ngẫu nhiên là nguyên tố là 6 / π 2 (xem pi), khoảng 61%. Xem bên dưới.

Hai số tự nhiên a b là số nguyên tố khi và chỉ khi các số 2 a – 1 và 2 b – 1 là đồng thời. [8] Là một khái quát của điều này, dễ dàng theo thuật toán Euclide trong cơ sở n > 1:

Đồng phạm trong các bộ [ chỉnh sửa ]

Một tập hợp các số nguyên S = { a 1 a 2 …. a n } cũng có thể được gọi là coprime hoặc setwise coprime nếu ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử của tập hợp là 1. Ví dụ: các số nguyên 6, 10, 15 là số nguyên tố vì 1 là số nguyên dương duy nhất chia tất cả chúng.

Nếu mỗi cặp trong một tập hợp số nguyên là đồng thời, thì tập hợp đó được gọi là cặp đôi tương ứng (hoặc cặp tương đối nguyên tố lẫn nhau tương đối nguyên tố ). Đồng phạm cặp đôi là một điều kiện mạnh mẽ hơn so với đồng phạm setwise; mọi tập hợp hữu hạn cặp đôi cũng là một số cộng gộp, nhưng điều ngược lại là không đúng. Ví dụ: các số nguyên 4, 5, 6 là (setwise) coprime (vì số nguyên dương duy nhất chia tất cả trong số chúng là 1), nhưng chúng không phải là cặp đôi (4, 6) = 2).

Khái niệm đồng phạm cặp đôi rất quan trọng như một giả thuyết trong nhiều kết quả trong lý thuyết số, chẳng hạn như định lý còn lại của Trung Quốc.

Một tập hợp số nguyên vô hạn có thể là cặp số nguyên. Các ví dụ đáng chú ý bao gồm tập hợp tất cả các số nguyên tố, tập hợp các phần tử trong chuỗi của Sylvester và tập hợp tất cả các số Fermat.

Tính đồng nhất trong lý tưởng nhẫn [ chỉnh sửa ]

Hai lý tưởng A B trong vòng giao hoán được gọi là coprime (hoặc comaximal ) nếu A + B = R . Điều này khái quát danh tính của Bézout: với định nghĩa này, hai lý tưởng chính ( a ) và ( b ) trong vòng số nguyên Z là đồng thời nếu và chỉ khi a b là đồng thời. Nếu các lý tưởng A B của R là đồng thời, thì AB = A ; hơn nữa, nếu C là lý tưởng thứ ba sao cho A chứa BC thì A chứa C . Định lý còn lại của Trung Quốc có thể được khái quát cho bất kỳ vòng giao hoán nào, sử dụng các lý tưởng đồng thời.

Xác suất đồng phạm [ chỉnh sửa ]

Đưa ra hai số nguyên được chọn ngẫu nhiên a b thật hợp lý khi hỏi về khả năng của nó là a b là đồng thời. Trong quyết định này, sẽ thuận tiện khi sử dụng đặc tính hóa a b là số nguyên tố khi và chỉ khi không có số nguyên tố nào chia cả hai số này (xem Định lý cơ bản về số học).

Một cách không chính thức, xác suất rằng bất kỳ số nào cũng chia hết cho một số nguyên tố (hoặc trên thực tế là bất kỳ số nguyên nào)

p { displaystyle p}

1 [19659113] / p { displaystyle 1 / p}

; ví dụ: mọi số nguyên thứ 7 chia hết cho 7. Do đó xác suất hai số đó chia hết cho p

1 / p 2 { displaystyle 1 / p ^ {2}}

và xác suất mà ít nhất một trong số chúng không phải là

1 1 / p 2 { displaystyle 1-1 / p ^ {2}}

. Bất kỳ tập hợp hữu hạn nào của các sự kiện chia rẽ liên quan đến các số nguyên tố riêng biệt là độc lập lẫn nhau. Ví dụ: trong trường hợp có hai sự kiện, một số chia hết cho các số nguyên tố p q nếu và chỉ khi nó chia hết cho pq ; sự kiện thứ hai có xác suất 1 / pq . Nếu người ta đưa ra giả định heuristic rằng lý do như vậy có thể được mở rộng thành vô số sự kiện có thể chia được, thì người ta sẽ đoán rằng xác suất hai số là một số nguyên tố được đưa ra bởi một sản phẩm trong tất cả các số nguyên tố,